Subconjunto : Definición, tipos y propiedades importantes.

En esta publicación te vamos a explicar un concepto matemático perteneciente a la teoría de conjuntos el cual se llama “ Subconjunto ” y también tú verás los tipos de subconjuntos existentes, así como sus propiedades fundamentales más importantes en el área de las matemáticas.

¿ Qué es un subconjunto ?.

Es un conjunto que está incluido en otro conjunto.

Un subconjunto se define en matemática de esta forma :

Dados dos conjuntos $A$ y $B$, decimos que :

$A$ es un subconjunto de $B$ si cada elemento de $A$ es también un elemento de $B$.

Se denota así :

$A\subset B$

Se lee así : 

“ $A$ es un subconjunto de $B$ ”

“ $A$ está incluido en $B$ ”

Notación matemática :

$A\subset B\leftrightarrow \forall x/x\in A\to x\in B$

Esto se lee así : " $A$ es un subconjunto de $B$ sí y sólo si para toda $x$, tal que, si $x$ pertenece a $A$, entonces $x$ también pertenece a $B$ ".

Ejemplo : 

El conjunto $A=\left\{ 1,2,3\right\}$  es un subconjunto del conjunto $B=\left\{ 1,2,3,4,5\right\}$, esto debido a que los elementos del conjunto $A$ están incluidos y pertenecen también al conjunto $B$.

Por tanto, se concluye que $A$ es un subconjunto de $B$.

Notas importantes :

1-) $\subset$ ∶ Se usa para indicar que un conjunto es un subconjunto de otro, pero no es igual a él.

2-) $\subseteq$ ∶ Se usa para indicar que un conjunto es un subconjunto de otro o es igual a él.

3-) ⊄ ∶ Se usa para indicar que un conjunto no es un subconjunto de otro, es decir, no hay inclusión.

4-) $\nsubseteq$ ∶ Se usa para indicar que un conjunto no es un subconjunto de otro ni es igual a él.

Propiedades de un subconjunto.

Los subconjuntos cuentan con 3 propiedades importantes, las cuales son :

1-) Propiedad reflexiva : Todo conjunto es subconjunto de sí mismo.

$A\subset A$

2-) Propiedad antisimétrica : Es cuando dos conjuntos son iguales y son subconjuntos entre ellos mismos.

Si $A\subset B$  y  $B\subset A\to A=B$

Esto se lee así : " Si $A$ es un subconjunto de $B$ y $B$ es un subconjunto de $A$, entonces $A$ es igual a $B$ ".

3-) Propiedad transitiva : Se aplica a 3 conjuntos dados.

Si $A\subset B$ y $B\subset C\to A\subset C$

Esto se lee así : " Si $A$ es un subconjunto de $B$ y $B$ es un subconjunto de $C$, entonces $A$ es un subconjunto de $C$ ".

Tipos de subconjuntos.

Los subconjuntos se clasifican en dos tipos, los cuales son :

Subconjunto propio : Es un conjunto que no es igual al conjunto original, en pocas palabras, es un conjunto que tiene menos elementos que el conjunto original.

Se denota así :

$A\subset B$ 

Se lee así : 

“ $A$ es un subconjunto propio de $B$ ”

“ $A$ está incluido propiamente en $B$ ”

Notación matemática :

$A\subset B\leftrightarrow \forall x/x\in A\to x\in B$  y  $A\neq B$

Esto se lee así : " $A$ es un subconjunto propio de $B$ sí y sólo si para toda $x$, tal que, si $x$ pertenece a $A$, entonces $x$ también pertenece a $B$ y $A$ es diferente de $B$ ".

Ejemplo :

$A=\left\{ 1,2,3\right\}$

$B=\left\{ 1,2,3,4,5\right\}$

El conjunto $A$ es un subconjunto propio del conjunto $B$ y se debe a las siguientes razones :

a-) El conjunto $A$ no es igual al conjunto $B$.

b-) El conjunto $A$ tiene menos elementos que el conjunto $B$.

c-) Los elementos del conjunto $A$ están incluidos y también pertenecen al conjunto $B$.

Por tanto, se concluye que $A$ es un subconjunto propio de $B$.

Propiedades de un subconjunto propio.

1-) Todos los elementos de un subconjunto propio pertenecen al conjunto original.

2-) Un subconjunto propio tiene menos elementos que el conjunto original.

3-) Un subconjunto propio no es igual al conjunto original.

4-) El conjunto original tiene elementos que no pertenecen al subconjunto propio.

5-) El conjunto original y un subconjunto propio no tienen el mismo cardinal.

Subconjunto impropio : Es un conjunto que es igual al conjunto original, en pocas palabras, ambos tienen los mismos elementos.

Se denota así :

$A\subseteq B$

Se lee así : 

“ $A$ es un subconjunto impropio de $B$ ”

“ $A$ está incluido impropiamente en $B$ ”

Notación matemática :

$A\subseteq B\leftrightarrow \forall x/ x\in A\to x\in B$  y  $A=B$

Esto se lee así : " $A$ es un subconjunto impropio de $B$ sí y sólo si para toda $x$, tal que, si $x$ pertenece a $A$, entonces $x$ también pertenece a $B$ y $A$ es igual a $B$ ".

Ejemplo :

$A=\left\{ 1,2,3,4,5\right\}$

$B=\left\{ 1,2,3,4,5\right\}$

Aquí podemos observar que el conjunto $A$ es igual al conjunto $B$, esto debido a que tienen los mismos elementos.

Por tanto, se concluye que $A$ es un subconjunto impropio de $B$.

Propiedades de un subconjunto impropio.

1-) Un subconjunto impropio es igual al conjunto original.

2-) Un subconjunto impropio tiene los mismos elementos que el conjunto original.

3-) El conjunto original y un subconjunto impropio tienen el mismo cardinal.

Diferencias entre un subconjunto propio y un subconjunto impropio.

Subconjunto propio	Subconjunto impropio
Tiene menos elementos que el conjunto original.	Tiene los mismos elementos que el conjunto original.
Nunca es igual al conjunto original.	Es igual al conjunto original.

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